Bentuk Umum
Tentukan turunan dari fungsi \( y = f(x)^{g(x)} \)
Soal di atas adalah untuk mendapatkan formula dalam menyelesaikan setiap permasalahan berpangkat fungsi bentuk dalam fungsi
y = \( y = f(x)^{g(x)} \) (logaritmakan bagian kiri dan kanan persamaan)
\( \ln y = \ln \left( f(x)^{g(x)} \right) \)
\( \ln y = g(x) \ln f(x) \)
\( \frac{1}{y} \, dy = g(x) \, d \ln f(x) + \ln f(x) \, dg(x) \)
\( dy = \left[ \frac{g(x)}{f(x)} df(x) + \ln f(x) , dg(x) \right] \)
\( \frac{dy}{dx} = f(x)^{g(x)} \left[ \frac{g(x)}{f(x)} df(x) dx + \ln f(x) \frac{dg(x)}{dx} \right] \)
\( y' = f(x)^{g(x)} \left[ \frac{g(x)}{f(x)} f'(x) + \ln f(x) g'(x) \right] \)
Jika \( y = u^v \), maka turunannya adalah:
\( y' = u^v \left[ \frac{u}{v} \cdot u' + \ln u \cdot v' \right] \)
Contoh Soal
Tentukan turunan dari fungsi \(y = 2x^{3x} \)
Dimisalkan:
\(u = 2x\), maka \(u'= 2 \)
\(v = 3x\), maka \(v' = 3\)
Sehingga dapat di selesaikan menggunakan formula :
\( y' = u^v \left[ \frac{u}{v} \cdot u' + \ln u \cdot v' \right] \)
Maka diperoleh turunan dari fungsi
\(y = \frac{dy}{dx}\)
\[y' = (2x)^{3x} \left[ \frac{3x}{2x} \cdot 2 + \ln(2x) \cdot 3 \right] \]
\[(2x)^{3x} \left[ 3 + 3 \ln(2x) \right] \]